Maxwell-démon a számítógépben
Végh András
Maxwell-démon a számítógépben. Megjelent: Fizikai Szemle, 1990/1, 24-28. oldal
A cikk célja annak megmutatása, hogyan lehet egy érdekes fizikai gondolatkísérletet matematikailag az ismert fizikai törvények szigorú betartásával modellezni, az algoritmust felvázolni és programozni, egy a 80-as években elterjedt iskolai mikroszámítógépre (C+4-re BASIC-ben), majd számos szimulációt végezve, és a statisztikai jellegű eredményeket kiértékelve, végül a következtetéseket is megfogalmazni. A cikk megírását az is motiválta, hogy világosan látszott a nanotechnológia előtt nagy jövő áll. Érdemes a molekuláris gépekkel kísérletezni. Az eredeti cikkből néhány kevésbé fontos és a lényeget nem befolyásoló bekezdést kihagytam.
Bevezetés
A fizikatörténet jól ismeri a Maxwell-démont. Mivel e démon és más hasonlóan működő gépek is megsértik a termodinamika második főtételét, a valóságban nem létezhetnek, de ezt a konkrét esetekben nem könnyű bizonyítani. A bizonyításhoz egy konkrét gép esetében a számítógépet hívjuk segítségül. A modellezés során nem arra törekszünk, hogy szemléltessük, hogyan kellene működnie egy atomi méretű démoni gépnek, hanem arra, hogy - reális fizikai modellt alkotva – megvizsgáljuk, szimuláljuk, hogy az elképzelt démoni gép hogyan működik. Valóban démonként működik, vagy erre képtelen?
Az eredeti Maxwell-féle démon és a „csapóajtó démon” ismertetése után, kétdugattyús nanotechnológiai démoni gépet tervezünk, elkészítjük kvantitatív modelljét, miközben ragaszkodunk néhány törvényhez (Maxwell-féle sebességeloszlás, impulzusmegmaradás, energiamegmaradás). A modellt kódoljuk és szabadon engedjük egy C+4 mikroszámítógépben. A konkrét fizikai problémán túlmenő hasznos módszertani tapasztalatokat is szerzünk.
Maxwell-démon
James Clark Maxwell a Hőelmélet című művében 1871-ben felvetette, hogy egy molekulákat látni és kezelni tudó piciny lény megsérthetné a termodinamika második főtételét. Képzeljünk el egy gázzal telt két egyenlő részre osztott edényt, a válaszfalban kis lyukkal. Egy apró lény jobbról balra csak a gyors, balról jobbra csak a lassú molekulákat (atomokat) engedné át a lyukon egy súrlódásmentes kaput mozgatva. Egy idő múlva a bal tartály felmelegedne a jobb oldali lehülne. Csökkenne a gáz rendezetlensége, entrópiája. Ez ellentmond a termodinamika második főtételének. A démon legfőbb következménye az lenne, hogy tisztán a hő terhére hasznos munkát végeztethetnénk, például úgy, hogy a meleg és hideg tartályt egy (kis) gőzgéppel kapcsolnánk össze. Ez egy másodfajú perpetuum mobile lenne. Idézzük fel röviden a második főtételt!
A természetben csak olyan folyamatok mennek végbe, melyek során a rendszer + környezet (vagy egy zárt rendszer) entrópiája növekszik, vagy állandó marad. Mivel az entrópia a termodinamikai valószínűség logaritmusával arányos, a második főtétel úgy is fogalmazható, hogy zárt rendszer a valószínűbb állapotokra törekszik. (Ez annyira kézenfekvő, hogy szinte tautológia.)
Felvetődik a kérdés, hogy e tételtől teljesen függetlenül, a fizika más (alap)törvényeiből kiindulva, legalább konkrét rendszerekre, hogyan bizonyítható a démon lehetetlensége? Az egyik járható út a számítógépes szimuláció. Ismerkedjünk meg két automatikus démonnal, géppel.
Az 1. ábrán a csapóajtó démon látható. Feladata, hogy nyomáskülönbséget hozzon létre a két tartály között. Kezdetben a tartályokban azonos minőségű, hőmérsékletű és nyomású gáz van. A tartályok közötti kis lyukat egy kellően kis tömegű rúgós csapóajtó zárja le. Az ajtó csak bal felé nyílik, a J tartályból nekiütköző molekulák hatására kinyílik és átengedi őket B-be, ellenkező irányba nem, mert arra nem nyílik. Azt képzelhetnénk, hogy a molekulák B-ben gyűlnek össze.
Maria Smoluchowski 1912-ben kimutatta, hogy az ajtónak termikus mozgást kell végeznie, mert gyakran ütközik a molekulákkal. Az ajtó átlagos energiája megegyezik a molekulák egy szabadsági fokra jutó mozgási energiájával. A csapóajtó leng, neki ütközik a keretnek (falnak), onnan a keret molekulái visszalökik és a rúgó ellenében kinyílik.
Amikor az ajtó nyitva van, mindkét irányba átengedi a gázmolekulákat. Ha éppen kinyílik a J-ből jövő molekulák az ajtóval ütközve átjuthatnak B-be, de ez a folyamat ugyanilyen gyakran lejátszódik fordítva is, a becsukódó ajtó molekulákat lök B-ből J-be. (A magyarázat ésszerű, de hiányolhatjuk a részletes kvantitatív (matematikai) bizonyítást.) Összefoglalva: a csapóajtó azért nem lehet démon, mert véletlenszerűen mozog.
Ezen a ponton a következő kérdés merül föl: tervezhető-e olyan mikroszkopikus szerkezet, amelynél minden véletlenszerű mozgást figyelembe veszünk és mégis démonként működik? A továbbiakban ilyen géppel foglalkozunk, ez is nyomáskülönbséget hozna létre. Először kvalitatív leírást adunk a gépről, majd egy kvantitatív modelljét ismertetjük.
Aszimmetrikus fluktuációk egy démoni gépben
Gondoljuk el a következő mikroszkopikus gépet! Két egyenlő térfogatú gáztartályt – jelöljük a bal oldalit B-vel, a jobb oldalit J-vel – elválasztó falon egy tolóajtóval elzárható rés van, 2. ábra. A tolóajtó függőlegesen, súrlódásmentesen mozoghat. A tartályokban egy-egy függőlegesen mozgó dugattyú van, B-ben lejjebb, mint J-ben. A dugattyúk és a tolóajtó merev kapcsolatban vannak, csak együtt mozdulhatnak el, ezt az egységet dugattyúrendszernek fogjuk nevezni. (A gravitációtól eltekintünk.) A 2. ábra egy olyan helyzetet mutat, amikor a rés éppen félig nyitott. A dugattyúk viszonylagos elhelyezkedése a következő: Ha a bal oldali dugattyú az alsó falnál van, akkor az ajtó teljesen nyitott és a jobb oldali dugattyú a rés felső széle fölött van, tehát a rés szabad. Fordítva, ha a jobb oldali dugattyú felső helyzetben, a falnál van, akkor az ajtó teljesen zár és a bal oldali dugattyú a rés alsó széle alatt van. (A két dugattyú és a tolóajtó merev kapcsolatát a síkbeli ábra nem mutatja, zavaró lenne.)
Legyen e rendszerben a hőmérséklet mindenütt azonos és a gáz (az áttekinthetőség kedvéért) egy atom. Két eloszlást különböztetünk meg: 1/0 az atom a B tartályban van, 0/1 az atom a J tartályban van. A dugattyúrendszer nélkül a két eloszlás egyenlően valószínű p(1/0)=p(0/1). E valószínűségek akkor sem változnának, ha az eloszlástól függetlenül véletlenszerűen mozgó tolóajtónk lenne, dugattyúk nélkül.
Feltevésünk szerint a kétdugattyús rendszerben az ajtó és a gázatom mozgása nem független egymástól. Változtat-e ez az eloszlások valószínűségein. Ha igen, akkor az egyik tartályban nagyobb lesz a nyomás, mint a másikban!
Nézzük, hogyan működik a rendszer. 1/0 eloszlás esetén az atom a B tartályban van, a bal oldali dugattyúval gyakran ütközik, a dugattyúrendszert lefelé gyorsítja, így a dugattyúkkal együtt mozgó tolóajtó kinyílik. A fal és a dugattyú atomjainak termikus mozgása miatt a dugattyúrendszer visszapattan az alsó falról, de a gázatom újra lefelé gyorsítja. A visszapattanások lehetnek tökéletesen rugalmasak, vagy a hőmérséklettől függőek és egyben véletlenszerűek. Várható, hogy az ajtó időbeli átlagban közelebb lesz a nyitott, mint a zárt állapothoz. 0/1 eloszlás esetén pontosan a fordítottja történik, a gázatom a dugattyúrendszert felfelé gyorsítja, várható, hogy az ajtó átlagban közelebb lesz a zárt, mint a nyitott állapothoz. Időbeli átlagban az ajtó 1/0 eloszlásnál „majdnem” nyitott, 0/1 eloszlásnál „majdnem” zárt. Kézenfekvő, hogy az előbbi esetben az atom nagyobb valószínűséggel távozik a résen, mint az utóbbiban, ezért az 1/0 eloszlás várható élettartama kisebb, mint a 0/1-é. Az 1/0 eloszlás kevésbé valószínű. Az eloszlás ajtóhelyzet korreláció aszimmetriát eredményez. Ezt az aszimmetrikus fluktuáció (és eloszlás) hipotézisének nevezzük.
Miért nevezhető démonnak a gép? A gép démon, mert az atom az egyik tartályban gyakrabban tartózkodik, mint a másikban, azonos hőmérséklet mellett. Ahol többet tartózkodik, ott a nyomás nagyobb. (A hőmérsékletet hosszú idő átlagában az egy szabadsági fokra eső energiából kell számítani, E=kT/2 alapján.) A nyomáskülönbség munkavégzésre is hasznosítható.
Nem nehéz elképzelni ilyen mikroszkopikus gépek sokaságából makroszkopikus démoni rendszert.
A démoni gépet tovább lehet „tökéletesíteni”, hogy az eloszlás-ajtóhelyzet korreláció erősödjön. Például úgy, hogy a dugattyúk néhány atomja gyenge kötésbe (van der Waals-kötésbe) lép a falak atomjaival. …
A gép modellje
Ha a démoni gépet számítógépre kívánjuk vinni, szükség van annak legalább egy kvantitatív modelljére. Eddig jószerével csak a fizikai érzékünkre hagyatkoztunk, ezért is szükséges a pontos matematikai leírás.
Legyenek a tartályok 10x16 nm térfogatúak. (Síkbeli modellel dolgozunk.) A gáz ideális kripton atom, a hőmérséklet 273 K. A dugattyúk és az ajtó kis tömegű anyagokból álljanak (pl.: berillium, szén, szénhidrogén) szükségképpen sok atomot tartalmaznak, ezért együttes tömegük sokkal nagyobb a kripton atoménál, a modellben 100-szoros.
Egy konkrét szimulációt indítva, kezdetben az ajtót pl. félig nyitottra állítjuk, megadjuk, a van der Waals kötések számát, pl. 2 de lehet nulla is, elhelyezünk egy atomot, pl. a B tartályban (véletlen helyre, véletlen sebességgel és megadjuk a kívánt ciklusszámot (a szimuláció hosszát), pl. 40 000.
A program minden 10. ciklusban kirajzolja az atom helyét, minden 200-dik ciklusban kiírja, hány ciklusban tartózkodott addig az atom a B, ill. a J tartályban, ezek az MB és MJ számok. Az MJ/I arányt grafikonon is ábrázolja, ahol I az addigi ciklusok száma. 200 ciklusonként kiírja és grafikonon ábrázolja az ajtó helyzetének addigi átlagát, külön-külön átlagolva az atom bal, és a jobb oldali tartózkodására.
Szimulációk, eredmények
Először a tökéletesen rugalmas dugattyú-fal kölcsönhatásra épülő modell eredményét ismertetjük. 30 000 ciklusszámmal 5 szimulációt végeztünk. Az 5 kísérlet eredményei alapján az ajtó átlagos nyitottsága 1/0 eloszlás esetén GL=0,462 +-0,016, 0/1 eloszlás esetén GR=0,555 +-0,026. Az átlagtól való maximális eltérést adtuk meg hibának. Az eloszlás-ajtóhelyzet korreláció biztosra vehető.
Érdemes megnézni a tartályok látogatottságára jellemző öt MB, MJ számok megfelelő összegeit is, Szumma_MB=76183, Summa_MJ=73817, a kettő hányadosa 0,4921. A démon létezését nem tudtuk bizonyítani, nem működik, valószínűleg csak pszeudodémon.
A számítógépes modellekkel sok kísérletet végeztünk, különböző kezdőfeltételeket realizálva. A jobb megbízhatóság kedvéért a szimulációk mellett kontroll szimulációkat is végeztünk. A kontrollt olyan modellel végeztük, amelyből eltávolítottuk a dugattyúrendszert. Az eredmények részletei az eredeti cikkben olvashatók.
Összefoglalva azt mondhatjuk, hogy az ajtó átlagos tartózkodási helye mindig a vártnak megfelelő volt. A pillanatnyi eloszlás és az ajtóhelyzet közötti korreláció egyértelműen kimutatható. Ennek ellenére az atom a tartályokban közelítőleg azonos gyakorisággal tartózkodott. Az aszimmetrikus fluktuáció hipotézisét az eredmények nem bizonyítják. A démoni gép nem is démoni. Bizonyítottuk egy konkrét démon lehetetlenségét, ha a modellek reálisak és a program hibátlan. A szóbanforgó rendszerekben a fluktuációk szükkségképen szimmetrikusak, azaz időátlagban az átmeneti valószínűségek egyenlőek. Természetesen "tökéletesíthetjük" a modellt, de a legjobb ötletek is csődöt mondanak. E játéknak meggyőző ereje van, szemléletünk átalakul. A második főtétel mikroszkopikus rendszerekre, egyetlen atomra is érvényes, de nem a pillanatnyi folyamatokra, hanem hosszú idő átlagában.
Az eredmények szerint az ajtó nyitottabb, ha az atom a B tartályban van, mint ha a J-ben. Miért nem tartózkodik az atom B-ben rövidebb ideig? Ez paradoxonnak tűnik. Hol a hiba?
A paradoxon megoldását az olvasóra bízzuk. Az eredeti cikkben felvázolt megoldási lehetőség nem meggyőző, talán nem is igaz. A C+4-re írt BASIC program a függelékben megtalálható.
Megjegyzések
Felvázoltuk a tudományos gondolkodás egyik alapsémáját: probléma, fizikai (gondolati) modell, hipotézis, matematikai modell, kódolt modell (program), szimulációk és kontroll szimulációk (paraméterek változtatása), következtetések. A valóság ennél színesebb, sok a visszacsatolás és a buktató, például hibák lehetnek a programban vagy a matematikai modellben, ezeket ki kell küszöbölni. A számítógépes gondolatkísérletek hozzá tartoznak a modern tudományhoz. A jövőben valószínűleg még a jelenleginél is nagyobb szerephez jutnak. Ezért fontosnak érezzük az oktatásban való alkalmazását is, mióta a mikroszámítógépek (és a PC-k, laptopok…) megjelentek az iskolákban és egyetemeken.
Ez a gondolkodás, kísérletezés fáradtságos, de hasznos. Szilárd Leót 1929-ben korát megelőzve a Maxwell-démon vezette az információfizika egyik alaptörvényéhez.
Bár az eredeti cikkben erről nincs szó, de a kísérletezés megmutatta, hogy a nanotechnológiai erőgépek energiaforrása lehet a közvetlen (atomi) környezet is. Ugyanis a kvázidémonok, vagy nanoerőgépek a szimulációk során képesek voltak hasznos munkává alakítani a termikusnál jóval nagyobb (de mikroszkopikus) és a környezetben gyakran meglévő energiacsomagokat. Ez ugyanis nem mond ellent a második főtételnek. Az élő szervezetben, a sejtekben talán lehetnek ilyen, a termikusnál nagyobb energiacsomagokat hasznosító nanogépek, erőforrások.
Végh András, 2016. január
FÜGGELÉK
